Griffhierarchie

• Wrenchvektor: $\overrightarrow{w}$ er beinhaltet die an einem Punkt $\overrightarrow{p_i}$ wirkenden Kräfte $f_i$ und Momente $\tau_i$ mit $i \in [x,y,z]$. Für diesen gilt:
  • planarer Griff: $\overrightarrow{w} = (f_x,f_y,\tau_z)^{\top} \in \MR ^3$
  • räumlicher Griff: $\overrightarrow{w} = (f_x,f_y,f_z,\tau_x,\tau_y,\tau_z)^{\top} \in \MR ^6$
  • Im Folgenden werden Wrenchvektoren aufgeführt, welche die am Kontaktpunkt wirkenden normalen (n) und tangentialen (t) Kräfte und axialen Momente ($\theta$) beschreiben. Bzgl. des i-ten Kontaktpunktes werden sie bezeichnet: $^i\overrightarrow{w_n}, ^i\overrightarrow{w_t}, ^i\overrightarrow{w_\theta}$, die dazu korrespondierenden Skalare sind mit $^ic_n, ^ic_t, ^ic_\theta$ bezeichnet.
• Greifmatrix:
  • Bei m Kontaktpunkten für ienen räumlichen Griff: 6x3m-Matrix $G = [^1\overrightarrow{w_n},^1\overrightarrow{w_t},^1\overrightarrow{w_\theta},\dots,^m\overrightarrow{w_n},^m\overrightarrow{w_t},^m\overrightarrow{w_\theta}]$ Für die Skalare erhählt man den Vektor: $\overrightarrow{c} = (^1c_n, ^1c_t, ^1c_theta, \dots ^mc_n, ^mc_t, ^mc_theta)^{\top} \in \MR ^{3m}$
  • Auf G wirkendes externes Moment (meist Erdanziehung etc.): $\overrightarrow{e} = (f_x,f_y,f_z,\tau_x,\tau_y,\tau_z)^{\top} \in \MR ^6$
• Gleichgewichtsgriff:
  • Wenn die Summe aller Kräfte $f_i$ und Momente $\tau_i$, die auf das gegriffene Objekt wirken = 0 ist:
    1. $\forall i \in [1,m] : ^ic_n\ge0, ^i\mu_t \star ^ic_n \ge \vert^ic_t\vert, ^i\mu_\theta \star ^ic_n \ge \vert^ic_\theta\vert$
    2. $\exists \overrightarrow{c}\in\MR ^{3m},\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0} : G\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e} = \overrightarrow{0}$
  • 1. besagt: $c_t$ und $c_\theta$ sind durch die korrespondierenden Normalenkräfte und die Coulombschen Reibungskoeffizienten nach oben begrenzt.
  • Beispiel: Folie 26
• Kraftgeschlossene Griffe:
  • Die Stabilität eines Griffes erfordert, dass das gegriffene Objekt im Kräftegleichgewicht bleibt, d.h. Kräfte und Momente, welche durch die Greiffinger auf das gegriffene Objekt ausgeübt werden, müssen sämtliche externen Kräfte und Momente kompensieren können,
    1. Es gilt Gleichung 2 vom Gleichgewichtsgriff, welche $\forall \overrightarrow{e} \in \MR ^6$ gelten muss.
  • Für die Anzahl der benötigten Kontaktpunkte eines kraftgeschlossenen Griffes gilt:
    • basierend auf Punktkontakten ohne Reibung: Wenn Objekt keine Rotationssymmetrie besitzt: mindestes 4 Kontaktpunkte, für beliebige 3d-Objekte höchstens 12 Kontaktpunkt, beschränkt auf Klasse der Polyeder: höchstens 7 Kontaktpunkte.
    • basierend auf Kontaktpunkten mit Reibung: planare Objekte: auf 3 Kontaktpunkte basierender kraftgeshlossener Fingerspitzengriff; räumliche Objekte: untere Grenze von 4 Kontaktpunkten.
  • Beispiel: Folie 31
• Formgeschlossene Griffe:
  • Es werden lediglich $^i\overrightarrow{w_n}$ in $G$ berücksichtigt. Also $G' \in \MR ^{6\times m}$.
  • Für einen formgeschlossenen planaren Griff sind mindestens 4 Kontaktpunkte erforderlich. Bei beliebigen 3d-Objekten mindestens 6 Kontaktpunkte (im Skript stehen 7, aber z.B. Würfel?).
  • Hier gilt das gleiche Kriterium, wie bei kraftgeschlossenen Griffen, nur in reduzierter Form (da nur eine von drei Kraftkomponenten berücksichtigt wird.)
• Stabile Griffe:
  • Zur Modellierung von Fingerkräften, welche durch ihre Nachgiebigkeit kleine Änderungen von der Nominallage des gegriffenen Objektes kompensieren können, folgende Definition einer Potentialfunktion: $V:\MR ^6 \longrightarrow \MR$. Sie spezifiziert die im Griff gespeicherte potentielle Energie in Abhängigkeit von Lage und Orientierung des gegriffenen Objektes.
  • Sei Objekt in Gleichgewichtsgriff, $\delta q=(\delta_x,\delta_y,\delta_z,\delta_{\phi x},\delta_{\phi y},\delta_{\phi z})^{\top} \in \MR ^6 \neq \overrightarrow{0}$ eine infinitesimale Lageänderung des gegriffenen Objektes und $\delta V$ die resultieren Änderung der potentiellen Energie, so ist der Griff stabil, falls: $\forall \delta q \in \MR ^6 : \delta V > 0$
  • Es gibt Griffe (siehe Folie 38), welche stabil sind, aber nicht kraftgeschlossen.
• Mengentheoretische Darstellung der Griffhierarchie: formgeschlossene Griffe $\subset$ kraftgeschlossene Griffe $\subset$ stabile Griffe $\subset$ Gleichgewichtsgriffe.