Dynamisches Modell

• Bewegungsgleichung:

  $$Q = M(q)\cdot\overset{..}{q}+n(\overset{.}{q},q) + g(q) + R\cdot\overset{.}{q}$$

  
  
  mit: Q: Vektor der allgemeinen Stellkräfte und -momente
  M(q): Trägheitsmatrix
  n(.,.): Vektor mit Zentrifugal- und Corioliskomponenten
  g(q): Vektor mit Gravitationskomponenten
  R. Disgonalmatrix zur Beschreibung der Reibungskräfte
  q: Vektor mit Winkellagen des Manipulators
• Direktes dynamisches Problem:
  • Aus Masse, äußeren Kräften und Momenten sowie der Lage, Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsbeschleunigung werden die sich ergebenden Bewegungsänderungen berechnet:
  • Bewegungsgleichung nach $q(t), \overset{.}{q}(t), \overset{..}{q}(t)$ auflösen.
  • Gegeben $Q(t) \rightarrow$   DdP$(q(t_0),\overset{.}{q}(t_0),\overset{..}{q}(t_0)) \rightarrow q(t),\overset{.}{q}(t),\overset{..}{q}(t)$ Gesucht
• Inverses dynamisches Problem:
  • Aus den gewünschten Bewegungsparametern sowie den kinematischen Parametern die dazu erforderlichen Stellkräfte ermitteln:
  • Bewegungsgleichung ausrechnen
  • Lösung:
    • Lagrange: (zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur die kinetische und die potentielle Energie aufgestellt werden. Die Bewegungsgleichungen folgen dann formal durch differenzieren.)
      • Vorteile: einfaches Aufstellen der Gleichungen, geschlossenes Modell, analytisch auswertbar
      • Nachteile: $O(n^4)$ (n = Anzahl der Gelenke)
    • Newton-Euler: (Rekursive Berechnung der Kinematik von der Basis zum Greifer (Vorwärtsgleichungen), dann rekursive Berechnung der Dynamik vom Greifer zur Basis (Rückwärtsgleichungen))
      • Vorteile: für beliebige Anzahl von Gelenken, Belastungen der Armelemente werden berechnet, Aufwand $O(n)$
      • Nachteile: Rekursion