Denavit-Hartenberg

• Transformation vom OKS des i-ten Armelementes in das OKS des (i-1)-ten Armelementes nach der Denavit-Hartenberg-Konvention.
• Vorraussetzungen: Ursprung des Koordinatensystems $A_{i-1}$ ist fest mit Armteil i-1 verbunden und liegt im Schnittpunkt der gemeinsamen Normalen der Gelenkachsen i-1 und i mit der Gelenkachse i.
• Prinzip: Effektorstellung wird schrittweise ermittelt; In jedes Robotergelenk wird ein Rechtskoordinatensystem gelegt; Die Systeme werden nach bestimmten DH-Regeln konstruiert, so daß die Transformationsmatrizen eine einheitliche Struktur erhalten.
• Denavit-Hartenberg-Regeln:
  1. Achse $z_i$ des Systems $S_i$ wird in Bewegungsachse des Gelenks $G_i$ gelegt. Richtung: positive Bewegungsrichtung von $G_i$.
  2. Achse $x_i$ wird durch Normale von $z_{i-1}$ nach $z_i$ definiert.
  3. $y_i = z_i \times x_i$ (Rechtssystem)
• Spezialfälle:
  • Schneiden sich zwei Gelenkachsen $\rightarrow$ Ursprung im Schnittpunktder beiden Achsen. (Kann auch außerhalb des Arms liegen)
  • Gelenkachsen parallel $\rightarrow$ Usprung so wählen, dass Versatz zum Korrdinatenurpsrung im nächsten Gelenk des nächsten Armteils zu 0 wird.
  • Koordinatensystem $A_0$ bildet Basissystem und ist fest mit der Basis und dem Ursprung in der 1. Achse verbunden.
  • Koordinatensystem $D_n$ wird in den Greifer gelegt. $x_n$ muss normal zu $z_{n-1}$ liegen.
• Überführen OKS(i-1) auf OKS(i):
  1. Rotation $\theta_i$ um die $z_{i-1}$-Achse, damit $x_{i-1}$-Achse parallel zur $x_i$-Achse liegt:

     $$R_{z_{i-1}}(\theta_i) = \begin{pmatrix}\cos\theta_i & -\sin\theta... ...\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

     
     

  2. Translation $s_i$ entlang der $z_{i-1}$-Achse zu dem Punkt, in dem sich $z_{i-1}$ und $x_i$ schneiden:

     $$T_{z_{i-1}}(s_i) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & s_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

     
     

  3. Translation $a_i$ entlang der $x_i$-Achse, um die Ursprünge in Deckung zu bringen:

     $$T_{x_i}(a_i) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

     
     

  4. Rotation $\alpha_i$ um die $x_i$-Achse, um die $z$-Achse und die $y$-Achse in Übereinstimmung zu bringen:

     $$R_{x_i}(\alpha_i) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alph... ...pha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

     
     

• In Matrizenschreibweise:

  $$D_{i-1,i} = R_{z_{i-1}}(\theta_i) \bullet T_{z_{i-1}}(s_i) \bullet T_{x_i}(a_i) \bullet R_{x_i}(\alpha_i)$$

  $$= \begin{pmatrix}\cos\theta_i & -\cos\alpha_i\cdot\sin\theta_i & ... ...theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & s_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  
  

• Unterschied zwischen Translations- und Rotationsgelenk:
  • Translationsgröße: $s_i = s_k + s_v$; $s_k$: konstanter Abstand vom Ursprung $U_i$ zum Schnittpunkt $z_i$ mit Normalen $s_v = 0$.; $s_v$: Gelenkvariable.
  • Drehwinkel: $\theta_i = \theta_k + \theta_v$; $\theta_k$: konstanter Winkel zur Überführung von $x_i$ nach $x_{i+1}$ bei $\theta_v = 0$.; $\theta_v$: Gelenkvariable.
  • $a_i$   und$\alpha_i$ sind immer konstant
• Armgleichung:

  $$E_{\text{Basis,Greifer}} = D_{0,1} \bullet D_{1,2} \bullet D_{2,3... ...{e_y} & y_s \\ x_{e_z} & y_{e_z} & z_{e_z} & z_s \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  
  

• Direktes kinematisches Problem:
  • Armgleichung ausrechnen.
  • Gegeben $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n \rightarrow$   DkP$\rightarrow x,y,z$ (Gesucht)
• Iverses kinematisches Problem:
  • Aus DH-Parametern und Stellung des Greifers sollen Gelenkwinkel bestimmt werden.
  • Mit bekannten Kinematikmodelldaten und gegebener Matrix $E$ unbekannte $\theta_i$ aus Armgleichung ermitteln.
  • Gegeben $x,y,z \rightarrow$   IkP$\rightarrow \theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n$ Gesucht
  • Lösung:
    • allgemeine Verfahren (algebraische Lösungen, Iteration, Reduktion der Ordnung der Armgleichung, Subsitutionsverfahren): Nachteile: Aufwand hoch und lange Zeitdauer
    • spezielle Verfahren (auf trigonoetrische/geometrische Beziehungen aufbauend (lokale Verfahren)): Vorteil: schnell; Nachteil: nur für spezielle Robotertypen
  • Kinematisch überbestimmte Roboterkonfigurationen (siehe Folie 31)